练习曲: May 2007

流形上的几何结构

丘成桐在最近的一次报告中讲《什么是几何结构》：“……我们来关注几何分析里的重要一支：给定拓扑空间上几何结构的构造。有很多种几何结构；大多可以用群论及其表示来分类。其中的某些结构由物理学而来。用群论给几何结构分类的想法可追溯到著名的克莱因的厄兰根纲领以及嘉当在其后的工作。多数几何结构是由一族特殊的坐标图定义，从而坐标变换或者坐标变换的雅可比反映出某些代数结构，如一个复结构，一个仿射结构，一个射影结构或一个分叶结构。特殊坐标系给出自然丛上的联络，如切丛或由切丛构造的某些丛。（比如射影结构与切丛加平凡线丛相关。）联络提供了沿任何曲线作向量场的协变微分的方法。对一固定点的任何闭圈，沿圈的平移变换给出了这点上切空间到自己的线性变换。这样的变换的总体形成一个群，称为联络的完整群。这个群反映了几何结构的代数特征。从而，几何结构存在的必要条件就是一个联络同某些自然丛上特殊完整群的存在。另一方面，联络给出了一个扭张量。为了让带特殊完整群的联络的存在成为期望的坐标系存在的充分条件，我们通常这个联络的扭张量为平凡的。事实上，嘉当－凯勒发展出一个扩展的外微分系统理论为此提供了证明，在实分析范畴，带特殊完整群的非扭联络的存在实际上对多数几何结构的本地坐标系的存在已经是充分了。嘉当－凯勒理论的光滑版本还未被一般建立。……”
陶哲轩在谈到丘成桐的报告时说：“……几何分析，根据定义，是应用分析的手段（尤其由非线性偏微分方程）来研究局部和整体的几何，虽然后来在分析之外，代数几何以及表示论的方法也显示出力量和重要。现代几何现在已经是个宏大的课题，例如其在实和复表面的根基已经拓展到了算术表面，并且与象广义相对论和弦理论这样的现代物理有着深远而富成果的交互。克莱因著名的有影响的厄兰根纲领（后来被嘉当深入发展）力图通过保持了几何里结构的对称群来定义，理解，和研究几何。在对称空间的经典几何情况下（$\mathbb{R}^n$上的欧氏几何，$\mathbb{R}^n$上的仿射几何，$\mathbb{R}^nP^n$上的射影几何，$S^n$上的球面几何，$\mathbb{H}^n$上的双曲几何，$\mathbb{C}^n$上的复几何，等），对称群是经典李群（如刚体运动的群，或射影变换的群，等）。这样例如在欧氏几何中两条相交直线的夹角的表示是个概念（因为它在刚体运动下保持不变）但在仿射或射影几何下就不是（因为它在仿射或射影变换下并非不变）。在不太对称的空间情况下，如在一般流形下，相关的对称群可以是无限维的（例如，双全纯映射的群，或规范变换的群），也可能只适用于本地（例如，那些重叠图之间的本地坐标变换是属于一个象复的，仿射的，单元模的特殊类，等）；无论如何，通过对称群来研究几何的基本思想在这个领域的现代探索中一直是个根本。根据这种观点，一种几何里唯一允许的坐标改变就是那种保持了这个几何中某种特定代数结构的（如，复结构，仿射结构，保形结构，射影结构，辛结构，或叶结构）。比如在复流形上，我们只能考虑全纯的坐标改变。丘的题目是给定类拓扑对象（流形，丛，联络，映射，等）的‘几何结构’的构造，为简便全部默认为光滑。这里‘几何结构’的意思有些模糊，但一种可表示的几何结构是一个‘特殊’的流形上的局部坐标图的图册，它（本地上）把一般几何还原为标准几何（如前面提到的那几种经典几何）。例如，一个n维（几乎复的）流形上的复结构让我们能够在本地上以经典复几何$\mathbb{C}^n$来表达这个几何。这样一个根本问题就是对于任何给定流形，或一类流形（例如一个拓扑类，保形类，等）是否真的存在这样的几何结构。有些必要条件可以根据特殊几何结构一般导出在相关丛上（通常是切丛，尽管在仿射或射影几何是仿射丛重要）的某种自然联络$\nabla$这个观察来得到。（比如，如果那个结构是黎曼度规，我们就有莱维－奇维塔联络；如果我们有个特殊坐标系在局部使丛平凡，并且其坐标变换属于一个特殊类，则这些平凡联络的回拉可以粘到一起形成一个原始流形上的自然联络；如此类推。）在流形的非平凡圈上存在一个‘整体’情况，其（通过平移变换）导出一个从丛上一个纤维到自己的全纯映射，使得出现一个从基本群到这个结构群的同态。这个同态的映射就是完整群，它必须被一个特殊子群包含从而使那个结构存在；这是这个课题的一个关键代数表现。最为人熟知的例子是一个流形上的方向结构，其只能存在（即流形是有向的）于当且仅当这个任何联络的完整群属于那个纤维上的保持方向的线性映射群中。另一个更‘本地’的必要条件（对于其中某些联络这可以想成是本科微积分中克莱劳定理$\frac{\partial}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial x_j} = \frac{\partial}{\partial x_j}\frac{\partial}{\partial_i}$的一种类似形式）是这个特殊几何结构上得到的联络$\nabla$需是非扭的。我们可以希望这两个必要条件实际上对从结构的联络（是一种类似这个结构的导数）来找出（积分）这个结构是充分了；换句话说，一个流形上的几何结构当且仅当我们可以用特殊完整群构造一个非扭联络的时候存在。在实分析范畴$C^\omega$，的确是如此（即，所有这样的联络都是可积的），这要归功于嘉当－凯勒定理，……在光滑范畴$C^\infty$，事情就没有这么简单，甚至在本地的层次上也是，……当我们要研究更加全局的结构，那里全纯映射是非平凡的，则情况更显著地复杂，一方面导致了如这些结构的形变理论的课题（例如复几何中的科代拉－斯班色形变理论），另一方面导致了当基本群是无穷离散群时出现的对称空间的刚性理论（例如莫斯托－马格里斯刚性）。对于整体代数结构，如代数簇，……然后丘把报告其余的重点放在了黎曼面（是一复数维的复流形，或二实数维；不要和带黎曼度规g的二维流形黎曼表面$(\Sigma, g)$混淆）上的不同几何结构上。……”
丘成桐在他的第二次报告里讲《构造几何结构的基本工具》： “……几何结构的概念最近被丰富了。人们发现度规和特殊完整群对于描述这些几何结构也许不够。为了解释这点，我将用弦理论中对偶的概念来引导。我们先来看一些经典例子。李群理论及其离散子群导致嘉当的局部对称和齐性空间的理论。……当我们把这些空间看成其它几何实体的模空间时便得到了这些空间的许多重要特性。……”
陶哲轩接着讨论道： “……在第一个报告中，丘非形式化地将‘几何结构’定义为一个实体（如度规或是特殊的坐标系），此实体可以导出一个特殊的联络，这个联络有些附加特性如非扭的和具有完整群（例如，$SU(n)$对于卡拉比－丘成桐流形，$Sp(n)$对于超凯勒流形，等；丘特别指出例外李群$G_2$，自旋群$Spin (7)$，和单元群$U(n)$看上去也是特别重要的角色）。但在这个报告中，丘将他前面的表述又推进了一些，讲到最近人们了解到了这个度规，联络和完整结构经常需要额外的结构来丰富（纤维化（或更一般地，子流形的族），模空间结构，特殊环，等），才好完全把握这些情况的几何，而且尤其是为一些几何或物理中的(未被理解的）现象，如镜像对称。恐怕这些类型的附加结构频繁出现在弦理论中绝不只是巧合。……”
丘成桐在他的第三次报告中讲《几何结构在解决代数几何及拓扑问题上的应用》：“……”
陶哲轩评论道：“……”
两人相得益彰，高屋建瓴，只是我看不懂了，不翻译了，看原文吧……
（注：本人非数学专业，翻译错误请指正）

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