学习广义相对论（续）

爱因斯坦的引力理论

克里斯托弗。波普

等效原理
与人们一定会设想的正相反，爱因斯坦的广义相对论并非基于对已经反直觉的狭义相对论的更进一步抽象。实际上，可能显著地，广义相对论有着绝对是日常生活中常见的而且直觉就可以理解的观察作为基石。事实上是太常见了，以至于直到爱因斯坦这样的天才出现才明白了那实际上是什么，并由此得到理解这个世界的全新方式。不幸的是，尽管这发生在九十年前，直到今天并非每个人都跟上了这场革命而理解了爱因斯坦取得的进展。这样的例子在任何一个典型的本科物理课程中讲授力学的课堂上是最明显不过了。
狭义相对论的基石是对光速在所有参照系中不变的观测。由此逻辑上便得到了洛伦兹收缩，时间膨胀，以及洛伦兹变换下基本物理定律的协变等推论。理解狭义相对论的直觉很不一般但必须建立，因为那不是我们日常经验的直觉。日常生活中我们见到的速度和光速比起来是这样小，致使我们从未注意到狭义相对论效应的迹象，所以我们必须训练得可以想象速度非常大时物体如何表现。当然如今在实验室中见到狭义相对论效应显著重要的情况已经很普通了。
广义相对论的基石是所谓等效原理。这有很多种方式来表述，但可能最简单的一种就是表为引力质量和惯性质量相等。
在牛顿引力的框架内，物体的引力质量是描述地球引力场中作用在物体上的力的方程中的比例常数M_{grav}：
{2.1}
\vec F = M_{grav} \vec g = \frac{G M_{earth} M_{grav} \vec r}{r^3} ,
这里的\vec r是地球表面上一点的位置向量。
更一般地，如果\Phi是牛顿引力势则一个引力质量为M_{grav}的物体所受引力为：
{2.2}
\vec F = -M_{grav} \vec \nabla\Phi .
一个物体的惯性质量M_{inertial}是牛顿第二定律的比例常数，描述相对一个惯性参照系如果有加速度\vec a时的受力：
{2.3}
\vec F = M_{inertial} \vec a .
则下面的关系符合日常观察，也被实验室中高精度的实验如E\"otv\"os实验所验证：
{2.4}
M_{grav} = M_{inertial} .
由({2.1})和({2.3})立即可得到地球重力场中的一个物体，如果不受其它力，将有如下加速度（相对于地球表面）：
{2.5}
\vec a = \frac{M_{grav}}{M_{inertial}} \vec g .
从({2.4})，我们就得到这个有名的结果：
{2.6}
\vec a = \vec g ,
告诉我们所有物体以同样的速率下落。这被认为由加利略在比萨验证。
更一般地，如果该物体被放置在一个牛顿引力势\Phi里，则由({2.2})和({2.3})它将有由下面给出的加速度：
\vec a = -\frac{M_{grav}}{M_{inertial}} \vec \nabla \Phi = -\vec \nabla \Phi ,
如果物体的惯性质量与引力质量相等则第二个等式成立。
在牛顿力学中，这个引力质量与惯性质量的等式是被注解的（注意？），两个量被置为相等并且简单称作M，然后人们就去关注其它的去了。牛顿力学中没有什么{要求}人们把M_{grav}等于M_{inertial}。如果实验显示比率M_{grav}/M_{inertial}对不同物体不同，那样也行；人们只要简单地保证在正确的地方使用正确类型的质量。对于一个牛顿的物理学家来说引力质量和惯性质量的相等仅仅是个巧合，而使人们可以只使用一个符号而不是两个，然后使方程变得简单一些。
牛顿的方式中一个很大的失败是它无法回答{为什么引力质量和惯性质量相等？}或者也许更科学的方式表述这个问题是{自然定律中什么样的对称使得引力质量等于惯性质量？}我们对自然界的基本法则研究越多，就越发现所谓基本“巧合”并不会发生；如果有两个概念{初}看上去完全不同而之后变到相同，那自然一定是要告诉我们一些事情。这先后都会反应在自然的基本法则当中。
爱因斯坦的天才在于他认识到引力质量与惯性质量的相等绝不仅仅是巧合；自然正告诉我们关于引力的非常重要的东西。特别地，它告诉我们{至少在本地实验中，我们无法区分“引力”和一个物体相对于某参照系加速运动时所受的力}。例如，一个在封闭箱子中的观测者无法判断他是正坐在地球表面还是一个在外层空间以32英尺每秒平方加速的火箭里。
牛顿的物理学家对此问题的做法是采取相当迂回的方式，并且谈论作用在火箭搭载者身上的“假想的力”，等等。爱因斯坦则完全不同，确认了自然的基本事实并以定义的方式宣称，{引力是相对一个惯性系作加速运动的物体上所受的力}。本章开头引述的温斯顿。丘吉尔的观察相当准确地描述了一般牛顿物理学教师的反应。
爱因斯坦表达的信息是：如果它看起来象引力，闻起来象引力并且感觉起来也象引力，那么它{就是}引力！
一旦这点被确认，所有牛顿物理学中的疑惑和混乱就都消失了。封闭箱子中的观测者不必偷偷望一望外面才能说出他到底是受到了引力还是其他。一个自由下落的观测者，比如一个地球轨道上的宇航员或者一个从窗户掉下的人，一般是失重的，因为根据定义他处于自由下落的参照系故不受引力，至少在他的参照系的本地。一个坐在游乐场的旋转木马上的小孩会受到一个{向外}的引力，这可以大言不惭地被称为离心力。一扫而光的是假想的“那个不敢说出其名字的力”的混乱称谓。
注意在新的秩序中，有个对于惯性系由何构成的观点上的显著改变。如果我们去掉地球公转带来的影响，一个牛顿的物理学家会说一个站在实验室里的人处于惯性系中。然而正相反，在广义相对论中我们说一个从实验室窗户跳出的人处于惯性系中。一个站在实验室里的人是相对于惯性系加速；确实，这正是她会受到引力的原因。
更准确地，人们在广义相对论中引入的概念是{本地惯性系}。这里有一个自由下落参照系，如跳出实验室窗户的人，或者地球轨道上的宇航员。我们必须更一般地坚持“本地”这个词，因为稍后我们将看到如果有曲率存在时，就只能在很小的本地区域定义一个自由下落系。例如，一个在学院车站从窗户落下的观测者正相对于一个在剑桥从窗户落下的观测者加速，因为他们在以不断增加的速度沿着将会在地球中心汇合的线移动。但在足够小的区域内，自由下落系的概念会有意义。
确认了引力与相对于本地惯性系加速的对等关系后，我们就可以以一种独立于参照系的方式写出引力的法则，实际上是物理的基本法则。更准确说是，我们可以用一种不管局部是否是惯性系而在所有参照系中具有同样形式的方式建立物理的基本定律。实际上，表述等效原理的另外一种方式就是断言所有参照系的物理定律有同样的形式，即，在所有坐标系中。也许因此就不会奇怪，这些是用已经研究过的一般张量微积分的形式来显示的。

测地线方程
首先考虑一个闵可夫斯基时空中的粒子，没有其它的力作用于其上。我们用x^{\mu}来表示时空坐标，这里0 \leq \mu \leq 3，且\mu=0对应于时间坐标。则闽可夫斯基度规就是：
{2.9}
ds^2 = \eta_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu ,
这里：
{2.10}
\eta = {\rm diag}(-1,1,1,1) .
（这里我们使用光速设为1的单位量。例如，距离由光秒来度量。）量ds^2给出了相邻两个时空“事件”(x^0,x^1,x^2,x^3)和(x^0+dx^0,x^1+dx^1,x^2+dx^2,x^3+dx^3)之间间隔的平方。这两个事件之间也有一个{固有时间间隔}d\tau的表示法，这里：
{2.11}
d\tau^2 = -ds^2 = -\eta_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu ,
如果这两个事件处于同一个空间位置，即dx^1 = dx^2 = dx^3 = 0，则固有时间间隔恰好等于坐标时间间隔dt，这里t = x^0。这样，例如，固有时间就是一个粒子在静止参考系下的坐标时间。
假设这个粒子不是无质量的（使它有静止系），我们可以用固有时间的流逝来参数化粒子的运动。换句话说，我们可以说粒子在固有时\tau的时空坐标由x^\mu (\tau)给出。很明显粒子会作直线运动，因为没有额外的力作用在其上，我们可以用如下方程来表达：
{2.12}
\frac{d^2 x^\mu (\tau)}{d\tau^2} = 0 .
实际上，假设我们开始是用一个坐标系x'^\mu会更方便，这样这个粒子的运动方程就是：
{2.13}
\frac{d^2 x'^\mu (\tau)}{d\tau^2} = 0 .
现在我们转换到一个任意坐标系x^\mu；这些可以通过一般坐标变换而与x'^\mu联系起来。使用链式法则，我们就从({2.13})得到：
{2.14}
\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \frac{\partial x^\mu}{\partial x'^\nu}
\frac{\partial^2 x'^\nu}{\partial x^\rho \partial x^\sigma}
\frac{dx^\rho}{d\tau} \frac{dx^\sigma}{d\tau} = 0 .
我们也可以用链式法则计算这个不加撇的坐标系中的度规张量g_{\mu\nu}：
{2.15}
ds^2 = \eta_{\alpha\beta} dx'^\alpha dx'^\beta =
\frac{\partial x'^\alpha}{\partial x^\mu} \frac{\partial x'^\beta}
{\partial x^\nu} \eta_{\alpha\beta} dx^\mu dx^\nu
\equiv g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu ,
所以有：
{2.16}
g_{\mu\nu} = \frac{\partial x'^\alpha}{\partial x^\mu}
\frac{\partial x'^\beta}{\partial x^\nu} \eta_{\alpha\beta} .
相似地，逆度规由下给出：
{2.17}
g^{\mu\nu} = \frac{\partial x^\mu}{\partial x'^\alpha}
\frac{\partial x^\nu}{\partial x'^\beta} \eta^{\alpha\beta} .
从仿射联络的定义出发很容易直接验证方程({2.14})就是：
{2.18}
\frac{d^2 x^\mu}{d\tau^2} + \Gamma^\mu_{\ \nu\rho} \frac{dx^\nu}{d\tau}
\frac{dx^\rho}{d\tau} = 0 .
对于闵可夫斯基时空中任意坐标系下作自由直线运动的粒子重写方程我们便导出方程({2.18})。然而({2.18})实际上是一个完全的协变方程，我们可以拿它作为一切时空中粒子的“直线运动”的定义。更恰当的是我们不应说直线运动，因为这是不相当不严谨的说法。正确的是称为{测地线运动}。这样({2.18})就是{测地线方程}，它描述任何时空中有质量粒子所作的自由下落运动，无论是平坦的还是弯曲的时空。
可以很容易地看到，根据协变导数的定义，方程({2.18})可以写成：
{2.19}
\frac{dx^\nu}{d\tau} \nabla_\nu \frac{dx^\mu}{d\tau} = 0 .
这显示测地线方程是协变的，因为很清楚dx^\mu / d\tau是一个向量的分量。事实上，对于一个用不加撇坐标系改写的闵可夫斯基时空中的粒子我们早应该从({2.13})直接得到({2.18})，只要简单地注意到({2.14})可以写成：
{2.20}
\frac{dx'^\nu}{d\tau} \partial'_\nu \frac{dx'^\mu}{d\tau} = 0 ,
然后注意到当改变坐标时，这必将变为一个随一般坐标变换协变的方程。这样就必然变成了({2.19})，因为没有可能写成其它协变方程。
测地线方程({2.18})在广义相对论中就对应着用在引力场中粒子上的牛顿第二定律。为了明白这一点，考虑在牛顿极限下的测地线方程是很有帮助的，这时引力场是弱的并且静止的，粒子的移动是缓慢的。把时空坐标的指标\mu分成\mu = (0,i)会很方便，这里i只在空间坐标的指标的范围内取值1 \leq i \leq 3。比如当速度很小（相对于光速）时意味着：
{2.21}
|\frac{dx^i}{dt}| \ll 1 .
根据({2.11})坐标时间t和固有时间\tau是相同的，这样我们也得到：
{2.22}
\frac{dx^0}{d\tau} \approx 1 .
现在考虑测地线方程({2.18})空间分量。在牛顿极限下，得到它近似于：
{2.23}
\frac{d^2x^i}{dt^2} + \Gamma^i_{\ 00} = 0 .
再进一步，因为我们默认引力场是弱的，我们可以假定度规是几乎平坦的，这种情况下我们可以选择与闵可夫斯基度规在极小偏离下近似的坐标系：
{2.24}
g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} + h_{\mu\nu} ,
这里那个偏离与1相比是非常小的。根据克里斯托弗联络的表示法，加上静止的假定即\partial h_{\mu\nu} / \partial t = 0我们就得到：
{2.25}
\Gamma^i_{\ 00} \approx -\frac{1}{2} \partial_i h_{00} .
这样测地线方程在牛顿极限下还原为：
{2.26}
\frac{d^2x^i}{dt^2} = \frac{1}{2} \partial_i h_{00} .
我们现在把它和在引力场中运动的粒子的牛顿方程做个比较。如果牛顿势为\Phi，那么遵从牛顿第二定律的运动方程（引力质量和惯性质量默认相等！）是：
{2.27}
\frac{d^2x^i}{dt^2} = -\partial_i \Phi .
和方程({2.26})比较我们可以看到：
{2.28}
h_{00} = -2\Phi .
（我们可以把积分常数取零，因为在距离很大时牛顿势会消失，度规会正好还原为闵可夫斯基度规。）
注意在广义相对论中引力与惯性质量的相等是从外部建立的；测地线方程({2.18})并不引入粒子的质量。
另外很重要的一点是在测地线方程({2.18})中克里斯托弗联络\Gamma^\mu_{\ \nu\rho}扮演了“引力”的角色，因为正是这一项描述了对“线性运动”d^2x^\mu/d\tau^2 = 0的偏离。引力是被一个联络描述的，而不是被张量，这正如人们会预计到的那样。关键在于可以出现或消失，完全依赖于选用的坐标系。特别地，如果选定了自由下落参考系，这时任一点的度规就可以变为闵可夫斯基度规，这点上的第一阶导数可以消去，这点的克里斯托弗联络也可以消去。这样实际上我们就得到本地自由下落参考系里引力的消失（失重）。

爱因斯坦场方程
到目前为止，我们已经看到物质如何反应于引力，即，显示了物质如何在引力场的影响下运动的测地线方程。硬币的另一面则是物质又是如何决定引力的。控制这个的方程便是爱因斯坦场方程。这对应于牛顿方程：
{2.29}
\nabla^2 \Phi = 4\pi G \rho ,
它决定了在质量密度\rho存在下的牛顿引力势\Phi。这里的G是牛顿常数。
广义相对论中需要的方程可以想象，就象牛顿方程，应该是二阶导数的。我们可以仍然先考虑广义相对论的牛顿极限情形。因为正如我们已经看到的，由其闵可夫斯基值-1，度规分量g_{00}的导数h_{00}在牛顿极限下等于-2\Phi，使我们预料到爱因斯坦场方程会包含度规的二阶导数。我们还可以预料到这一定是个张量的方程，因为我们希望它在所有坐标参考系下形式相同。很幸运，已经存在由度规构造的张量可以作为候选，如我们早先看到的，因为黎曼张量和它的到里奇张量与里奇标量的缩并形式包含着度规的二阶导数。一些从曲率上进行的合适的构造将成为爱因斯坦方程的“左手边”部分。
剩下的问题就是什么将成为方程的右手边部分，将牛顿方程中的质量密度\rho推广。又一次已经存在自然的张量推广，称为{能量－动量张量，或应力张量}，T_{\mu\nu}。这是个对称张量，描述物质系统中质量（或能量）密度的分布，动量通量密度，和应力。特别地，如果我们象之前一样分解四维时空的指标\mu成\mu = (0,i)，则T_{00}就描述质量密度，T_{0i}描述三维动量通量，T_{ij}描述物质系统的应力。
对于一个封闭系统来说一个非常重要的能量－动量张量的特性是它是{守恒的}，这意味着：
{2.30}
\nabla^\mu T_{\mu\nu} = 0 .
这对应于电磁学中四维向量电流密度的守恒定律\nabla^\mu J_\mu = 0。那种情况下，守恒定律保证电荷是守恒的，通过在闭合三维体积上对J_0积分并取时间导数，我们能显示三维体积内总的电荷变化律与穿过此三维体积的电流通量相等。相似地，({2.30})保证了三维体积内总能量变化律与此区域外的动量通量相等。
如果我们要构造一个右手边是T_{\mu\nu}的常数乘积的场方程，则相应地，左手边必须满足守恒的条件。正好有一个由曲率构建的对称的二指标张量具有这样的特性，它被称为{爱因斯坦张量}：
{2.31}
G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} ,
这样我们的候选场方程就是G_{\mu\nu} = \lambda T_{\mu\nu}，即：
{2.32}
R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} = \lambda T_{\mu\nu} ,
对于某些宇宙常数\lambda，我们可以用要求得到正确的弱场牛顿极限来确定。
在物质系统具有低速度的情况下，其能量－动量张量将由分量T_{00}决定，它描述了质量密度\rho。这样为了找到({2.32})的牛顿极限，我们要检验00分量。为此，先使用g^{\mu\nu}相乘来取({2.32})的迹是有用的。这样就有：
{2.33}
-R = \lambda g^{\mu\nu} T_{\mu\nu} .
因为T_{\mu\nu}由T_{00} = \rho决定，并且度规几乎是闵可夫斯基度规（所以有g^{00}\approx -1），我们得到：
{2.34}
R \approx \lambda \rho
在牛顿极限时。这样，({2.32})还原为：
{2.35}
R_{00} \approx \frac{1}{2} \lambda \rho .
很容易从黎曼张量的表达式和里奇张量的定义看到，根据({2.25})分量R_{00}是由：
{2.36}
R_{00} \approx \partial_i \Gamma^i_{\ 00} \approx -\frac{1}{2} \partial_i
\partial^i h_{00} .
于是从({2.28})我们得到牛顿极限下R_{00} \approx \nabla^2 \Phi，所以从({2.35})我们获得结果：
{2.37}
\nabla^2 \Phi \approx \frac{1}{2} \lambda \rho .
这时只要把它同牛顿方程({2.29})作个比较，就确定了\lambda = 8\pi G。
简言之，这样我们给出了爱因斯坦场方程
{2.38}
R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} = 8\pi G T_{\mu\nu}
它有正确的牛顿极限。
注意爱因斯坦方程是麦克斯韦电磁理论中场方程的引力对应。让我们简单地考虑闵可夫斯基时空中的麦克斯韦方程。人们引入一个反称麦克斯韦张量F_{\mu\nu}，其分量由电场和磁场的三维向量表示给出：
{2.39}
F_{0i} = -F_{i0} = -E_i , \quad F_{ij} = \epsilon_{ijk} B_k .
麦克斯韦场强张量F = \frac{1}{2} F_{\mu\nu} dx^\mu \wedge dx^\nu（是个2－形）可以表达为1－形规范势A = A_\mu dx^\mu的外导数，即F = dA，或用分量的形式，
{2.40}
F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu .
麦克斯韦方程就表为：
{2.41}
\partial_\mu F^{\mu\nu} = -4 \pi J^\nu ,
这里J^\mu是四维向量电流密度，分量是：
{2.42}
J^0 = \rho_e, \quad J^i = j^i .
其中\rho_e是电荷密度，三维向量\vec j，分量是j^i，是三维向量电流密度。考虑麦克斯韦方程({2.41})中当\nu = 0和\nu = i的情形，我们分别就得到熟悉的三维向量麦克斯韦方程组：
{2.43}
\vec \nabla \cdot \vec E = 4\pi \rho_e , \quad \vec \nabla \times \vec B -
\frac{\partial \vec E}{\partial t} = 4\pi \vec j
在({2.40})引入的规范势A形式下，麦克斯韦方程({2.41})是二阶导数的。
注意至少在本地写出F后，因为F = dA，我们有dF = 0，用分量的表示法就是：
{2.44}
\partial_{[\mu} F_{\nu\rho]} = 0 .
取两个不同情况(\mu\nu\rho) = (0,i,j)和(\mu\nu\rho) = (ijk)，分别显示出：
{2.45}
\vec \nabla \times \vec E + \frac{\partial \vec B}{\partial t} = 0 , \quad
\vec \nabla \cdot \vec B = 0
这些是余下的两个用三维向量表示的麦克斯韦方程。它们其实是恒等式而不是方程组。事实上在微分几何中的曲率表示法，与F作为联络A的曲率，与等式dF = 0作为一个比安奇恒等式，很紧密的相对应。
爱因斯坦方程({2.38})和麦克斯韦方程({2.41})有值得思考的相似性，比如说左手边是从理论的基本场构造的曲率，右手边是从如质量，电荷密度，电流等量构造的场源项。
以上对麦克斯韦方程组的讨论都是以闵可夫斯基时空为背景的。然而，将这推广到任意时空背景下几乎是平凡的。我们需要找到闵可夫斯基时空方程({2.41})的广义协变推广。答案是相当容易的；唯一的具有同样数量导数的可以还原到闵可夫斯基时空的({2.41})的广义协变方程是：
{2.46}
\nabla_\mu F^{\mu\nu} = -4\pi J^\nu ,
所以这就是在一般广义时空中麦克斯韦方程应有的形式。麦克斯韦方组的另“一半”，即称为比安奇恒等式的，则不需要任何改动，因为如我们所知，({2.44})已经是个广义协变方程了。
我们已经描述了一般弯曲时空中麦克斯韦方程组的形式。为了完成对爱因斯坦－麦克斯韦系统的讨论，我们需要再考虑爱因斯坦方程。对电磁场的能量－动量张量由下给出：
{2.47}
T_{\mu\nu} = \frac{1}{4\pi} (F_{\mu\rho} F_\nu^\rho - \frac{1}{4} F^2 g_{\mu\nu}) ,
这里F^2 = F^{\mu\nu} F_{\mu\nu}。然后我们将其代入爱因斯坦方程({2.38})。为方便设牛顿常数G = 1，则引力和电磁力的完全方程，即被称为爱因斯坦－麦克斯韦方程组的就是：
{2.48}
R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} = 2(F_{\mu\rho} F_\nu^\rho - \frac{1}{4} F^2 g_{\mu\nu}) ,
\nabla_\mu F^{\mu\nu} = 0 ,
\partial_{[\mu} F_{\nu\rho]} = 0 .
（注意这里我们已经取四维向量电流J^\mu为零。换句话说，我们写出的方程是针对纯的爱因斯坦－麦克斯韦系统，没有另外的带电荷物质存在。）

史瓦西解
略

恒星或黑洞周围的轨道
略

注：非全文翻译，原文见《几何与群论》

（练习曲译，本人非物理专业，翻译错误请指正）