微分几何，李广群，李代数胚

克里奥。麦肯锡

对微分几何的看法

微分几何开始于对平面上以及三维空间中曲线的研究。一条光滑的普通平面曲线具有一个单位速度的参数化，由变换和旋转，根据其曲率来决定。一条光滑普通空间曲线（带永不消没曲率）由同样方式被其曲率和扭率决定。 对于合适的$n$维空间中的光滑普通曲线，存在$(n-1)$个函数可以给出类似结果。这是微分几何大多要力图达到的理想状况：可计算的几何不变量——即，独立于（正交）坐标系的选择——完全由研究的对象本身完全决定。
对3维空间中曲面的曲率的研究引出了内蕴特性和外部特性的根本区别：高斯曲率可以用曲面内部定义的表达量来计算，而平均曲率不能。黎曼把高斯曲率扩展到了任意维的抽象空间。对黎曼流形的研究在20世纪是极为重要的，部分原因由于广义相对论中的时空是用四维（伪）黎曼流形来描述的。
黎曼流形的曲率可以由度规的表达直接定义，但也可以通过流形的莱维－奇维塔联络获得，即为3维空间中任意曲面定义的推广的协变导数。这一20世纪初期的发现后来导致联络以及曲率的更一般的表达。更一般的并被广泛使用的联络的表达就是主丛中的联络，在50年代被伊瑞斯曼引进。
尽管重要，微分几何中也有很大一部分研究与曲率无关。辛几何，其现代形式直到60年代末才被建立，起源于力学系统中用微分不变量对相空间的研究；虽然相空间大多不可见，但要让相空间的特性显著，必须独立于坐标表达仍然是正确的，所以我们还是在研究几何，用微分的工具。柏松几何是辛几何的一个近邻，但带更多代数的味道。不论辛流形还是柏松流形都不象黎曼流形那样 具有曲率。
然而微分几何中多数过程都是一阶的：黎曼流形的莱维－奇维塔联络在度规上是一阶的，主丛上联络的曲率在联络上是一阶的，等等。更准确说，一个度规，一个复结构，一个体积形，以及多数标准结构都是一个切丛上的张量场，或者更一般地，向量丛上的。 这样一个结构的选择等同于一个对标架丛的群的还原，或者等同于对标架广群的子广群的选择。一个向量丛$E$的标架丛由从一个标准向量空间到$E$的纤维的线性同构组成，而标架广群由$E$的纤维之间的线性同构组成。这个标架广群，以及更一般的李广群，具有一个象李群的李代数那样的代数结构，并且有一个象李群和李代数所拥有的李理论。这个李广群的李代数胚－对应于李群的李代数的不变量－包含了这个李广群的所有一阶结构；例如，对应于主丛的李广群的李代数胚情况中，这个李代数胚就包含了所有这个丛的无穷小联络理论。
李广群提供了一个主丛的重新构建，但它们也以其他方式产生出来。一个李群作用定义了一个李广群使得李代数胚对应于那些无穷小作用；分叶产生了完整广群和单值广群使得李广群成为对应的分布；一个流形上的柏松结构定义了一个其余切丛上的李代数胚结构，而且如果这个李代数胚是可积的则它又从一个辛广群中产生。每种情况中的李代数胚都带有那个李广群的几何的一阶结构。
李广群不仅提供了一个系统化的一阶微分过程，还可以一种自然的方式‘加倍’，并且这个双李广群的李理论是个二阶过程。二秩空间，如循环切丛或余切丛的切丛，在辛几何和柏松几何中自然地产生。这些都是双李代数胚的例子，即将一个二阶微分过程应用于一个双李广群上的结果的抽象形式。一个李双代数的德林范德对具有一个双李代数胚（前提，与它是一个德林范德对无关）的自然结构， 反应出这个柏松李群的余切丛既有从给定群结构产生（但不同于）一个李广群结构，也有从给定柏松结构产生一个李代数胚的事实。关于双李结构和多李结构的更多讨论见这里。
……李广群和李代数胚的多形式为微分几何里的高阶构建提供了一条统一的并且哲学意义上连贯的路。
（原文见这里）

对李广群和李代数胚的看法

多数人知道李群的核心重要性，例如正交群$O(n)$包含了所有向量空间$R^n$中保持了一个内积（故而长度和距离）的$n \times n$矩阵，辛群$Sp(n, R)$包含了所有保持了一个体积形的$n \times n$矩阵，等等。一般来说李群作为向量空间的对称而产生，或者更一般地，作为带有一个几何结构的流形的对称。李广群从向量丛中以类似的方式产生，或者更一般地，从纤维丛中，其每个纤维都带有一个几何结构。比如，流形上的大多重要结构——一个黎曼结构，一个辛结构，一个复结构，例如——使每个切空间带有一个张量结构。对于一个丛不仅研究每个纤维的对称很重要，整个纤维之间的同构系统更为重要。
李群因其在数学中的对称性和它的应用以及那些李群本身的流形和它们的齐性空间为在其上作几何与分析提供了可能的事实而具有核心重要的地位。而且，李群被很好地理解了：对复半单李群的分类是建立现代数学的里程碑之一。这个分类由于李群可以用它们的李代数来研究这个事实而变得可能：这个李代数是一个线性空间，而所有线性代数的技术都可以拿来用了。
李广群具有一个对应的李理论——这个无穷小量即李代数胚——而这就涵盖了相当一部分微分几何：联络理论，分叶理论，柏松几何和其他很多。这反应了多数微分几何的工作是从一个微分过程出发的事实，通过这个过程问题被线性化和简化，而且在很多情况中这个过程对应于取李广群的李代数胚。
略。
（原文见这里）

（注：本人非数学专业，翻译错误请指正）